Тригонометрия в школьном курсе математики - это весьма большой и насыщенный формулами массив, в котором можно легко потеряться. В этой статье мы рассмотрим тот якорь, который поможет Вам не затеряться в этом море формул из синусов и косинусов. Такой точкой опоры станет для нас единичная окружность (её ещё называют "числовая окружность" или "тригонометрическая окружность"):

Это окружность с центром в начале координат \(O(0;0)\) и радиусом, равным \(1\). Поэтому её и удобно называть единичной. Рисунок выше достаточно сложный и пёстрый. На что в первую очередь обратить внимание? Начнём с четырёх крайних точек на окружности и их координат: \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(-1;0)\), \(D(0;-1)\). Как обычно, первая координата - это \(x\), вторая - это \(y\). Далее посмотрите на красную точку \(P\). Рисунок выше похож на экран радара, по которому вращается вокруг центра \(O\) отрезок \(OP\) - при этом вращении красная точка \(P\) будет двигаться по нашей окружности. То есть точка \(P\) - подвижная, а её расстояние до точки \(O\) всегда одинаково и равно \(1\) - радиусу окружности. Направление вращения - против часовой стрелки - указано стрелкой возле точки \(P\).

Начало движения - в точке \(A\). Когда \(P\) начинает двигаться от точки \(A\) и удаляться от неё, то одновременно с этим увеличивается угол \(\angle{AOP}\), который мы обозначили буквой \(\alpha\) ("альфа"). Как именно он увеличивается? В начале (когда \(P\) находится в точке \(A\)) этот угол равен нулю градусов (значения градусов указаны оранжевым цветом на рисунке). Затем он увеличивается и, когда \(P\) попадает в точку \(B\), то \(\alpha\) становится равным \(90^{\circ}\) (действительно, \(\angle{AOB}\) - это прямой угол). В точке \(C\) получим \(\alpha=180^{\circ}\), а в точке \(D\): \(\alpha=270^{\circ}\). При возвращении в точку \(A\) получим \(360^{\circ}\). Можно продолжить движение и дальше - тогда после второго круга в точке \(A\) будет \(\alpha=720^{\circ}\), и так далее. То есть для каждого положения точки \(P\) есть бесконечное множество значений \(\alpha\), зависящие от того, сколько кругов мы намотали этим "радаром". Полный круг - это \(360^{\circ}\) или, в радианах, \(2\pi\). Если двигаться в обратном направлении (по часовой стрелке), то будут получаться значения со знаком "минус": например, если отмотать четверть круга от точки \(A\) по часовой стрелке, то попадём в точку \(D\) и получим отрицательное значение \(\alpha=-90^{\circ}\).

Дальше немного сложнее. Кроме градусов, углы можно измерять в радианах (значения голубого цвета на рисунке). Например, рядом с точкой \(C\) Вы видите \(180^{\circ}\) и \(\pi\) радиан. То есть можем сказать, что \(\alpha\) равен \(180^{\circ}\) и при этом \(\pi\) радиан. Чтобы перейти от градусов к радианам, нужно поделить градусы на \(180\) и умножить на \(\pi\). Например, \(270^{\circ}=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\) (сократили дробь на \(90\)) - на рисунке это соответствие Вы можете видеть возле точки \(D\).

А где здесь синусы и косинусы, спросите Вы. Вот к этому сейчас и переходим. Пусть точка \(P\) остановилась в каком-то месте, с каким-то значением угла \(\alpha\) (посмотрите для наглядности на рисунок выше). При этом точка \(P\) имеет какие-то конкретные координаты: \(P(x;y)\). Так вот, первая координата \(x\) - это и есть \(\cos{\alpha}\) (зелёная точка на рисунке), а вторая координата \(y\) - это \(\sin{\alpha}\) (сиреневая точка на рисунке). Другими словами, точка \(P\) имеет координаты \(P(\cos{\alpha};\sin{\alpha})\). Вот теперь мы можем перейти к каким-то конкретным тригонометрическим результатам. Когда Вам придётся ответить на вопрос, чему равны \(\sin{\frac{3\pi}{2}}\) и \(\cos{\frac{3\pi}{2}}\), то не спешите лезть в таблицу с формулами. Нарисуйте (или представьте в уме) единичную окружность, отметьте положение точки \(P\) для угла \(\frac{3\pi}{2}\) (точка \(D\) на рисунке выше) и рассмотрите, какие у неё координаты: \(D(0;-1)\). Теперь вспоминаем, что первая координата - это косинус, а вторая - это синус, и ответ готов: \(\cos{\frac{3\pi}{2}}=0\), \(\sin{\frac{3\pi}{2}}=-1\). Вот так без таблиц и их запоминания сразу с минимумом знаний получили ответ. Понятно, что если точка \(P\) вращается по единичной окружности, то далеко она не убежит: для неё координаты \(x\) и \(y\) будут всегда в пределах от \(-1\) до \(1\): \(-1\le{x}\le{1}\), \(-1\le{y}\le{1}\). То есть, \(-1\le{\sin{\alpha}}\le{1}\), \(-1\le{\cos{\alpha}}\le{1}\) для любых углов \(\alpha\): синус и косинус не могут быть ни больше \(1\), ни меньше \(-1\). Зная это, Вы уже можете сказать, что тригонометрическое уравнение \(\cos{x}=2\) не имеет решений, потому что \(2\) больше \(1\). А тригонометрическое уравнение \(\cos{x}=-1\) имеет какие решения? Для каких углов \(x\) (вместо \(\alpha\) в уравнениях часто пишут \(x\)) косинус будет равен \(-1\)? Косинусом мы назвали первую координату точки \(P\), которая равна \(-1\) (внимание на рисунок выше) только для точки \(C\) с углом \(\alpha=\pi\). Значит, решением уравнения будет \(\pi\) и все те углы, которые мы получим, намотав полные круги к углу \(\pi\). Полный круг - это \(2\pi\), значит, решениями также будут \(\pi+2\pi=3\pi\), или \(\pi+4\pi=5\pi\) (если мы пройдём два круга против часовой стрелки), или \(\pi+6\pi=7\pi\) (три круга против часовой стрелки), или \(\pi-2\pi=-\pi\) (один круг по часовой стрелке). Кратко это записывается в виде \(\pi+2\pi{n}\) (\(n\) - целое число), где \(n\) указывает число намотанных кругов вокруг точки \(C\) и направление вращения. Итак, получаем бесконечное множество решений уравнения \(\cos{x}=-1\) в виде \(x=\pi+2\pi{n}\) (\(n\) - целое число). Да, немного сложно, но это Ваше первое знакомство с тригонометрическими уравнениями. При дальнейшем изучении у Вас уже будет небольшая основа.

Конечно, что-то придётся и запомнить из таблиц, а не только брать ответы с рисунка с окружностью. Допустим, наша точка \(P\) остановилась при значении угла \(\alpha=60^{\circ}\) (рисунок ниже). Давайте сразу потренируемся перевести это значение в радианы: \(60^{\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}\). Ну и какие у этой точки координаты, то есть, какие же синус и косинус угла \(\frac{\pi}{3}\)? Наверняка сказать сложно, правда (посмотрите на рисунок ниже)? Однозначно можно сказать, что какие-то положительные, от \(0\) до \(1\).

Что ж, придётся заглянуть в таблицы: \(\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\), \(\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Отметим эти значения на рисунке, чтобы было понятно:

Вообще, мы советуем выучить значения синуса и косинуса для трёх углов: \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) (в радианах это соответственно \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\)):

\(\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\), \(\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\),

\(\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\),

\(\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\).

Ну, и разберём ещё пару вопросов, близко связанных с единичной окружностью. Посмотрите на рисунок ниже и вспомните, что координатную плоскость можно разделить на \(4\) четверти:

Дальше обратите внимание на этом рисунке на точку \(P\). Она находится во второй четверти, то есть угол \(\alpha\) для неё находится в границах \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\). Попробуем ответить на вопрос: какой знак ("плюс" или "минус") имеют косинус и синус во второй четверти (то есть для углов \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\)). Косинус - это \(x\) (первая координата точки \(P\)), который во второй четверти отрицательный. А синус - это \(y\) точки \(P\), который во второй четверти положительный. Поэтому мы можем сказать, что \(\cos{\alpha}<0\), а \(\sin{\alpha}>0\) для углов во второй четверти, то есть для \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\). Умение определять знак синуса и косинуса в разных четвертях - очень важный навык, необходимый как одно из действий в решении тригонометрических задач. Какой знак имеет число \(\sin{235^{\circ}}\)? Сначала мы определяем, что угол \(235^{\circ}\) находится в третьей четверти (между \(180^{\circ}\) и \(270^{\circ}\)). Синус - это \(y\) точки \(P\). А \(y\) в третьей четверти отрицательный. Вот Вам и ответ: \(\sin{235^{\circ}}<0\).

Итак, мы видим, что единичная окружность нам пригодилась в понимании того, что такое синус и косинус, как решать самые простые тригонометрические уравнения, как находить знак синуса и косинуса разных углов. В заключение мы ещё покажем, что единичную окружность можно использовать для доказательства тригонометрических формул. Возьмём самую главную тригонометрическую формулу \(\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}=1\) (она называется основным тригонометрическим тождеством): в этой формуле запись \(\cos^{2}{\alpha}\) означает косинус в квадрате, то есть \(\cos^{2}{\alpha}=\cos{\alpha}\cdot\cos{\alpha}\) (и аналогично для синуса). Как доказать эту формулу на единичной окружности? Посмотрим на рисунок ниже.

Вы уже знаете, что любая точка на единичной окружности имеет координаты \(P(\cos{\alpha};\sin{\alpha})\). Тогда отрезок \(OL\) на рисунке будет равен \(\cos{\alpha}\), а отрезок \(OK\) будет равен \(\sin{\alpha}\). Далее рассмотрим \(\Delta{PKO}\). Он прямоугольный и в нём один катет \(OK=\sin{\alpha}\), а другой катет \(PK=OL=\cos{\alpha}\). Так как окружность единичная, то гипотенуза (она же - радиус окружности) \(PO=1\). Ну, почти всё сделано. Осталось записать теорему Пифагора для нашего \(\Delta{PKO}\): \(PK^{2}+OK^{2}=PO^{2}\). Подставляем в это равенство наши значения: \(\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}=1\). Что и требовалось доказать.

Теперь можно без страха открыть учебник и прочитать один-два параграфа по тригонометрии: наверняка, после нашего введения они покажутся Вам уже немного знакомыми.