По условию сторона \(BC\) треугольника \(ABC\) параллельна плоскости \(\alpha\), сторона \(AB\) пересекает \(\alpha\) в точке \(K\), а сторона \(AC\) - в точке \(D\). Известно также, что \(BC=28\), а \(AK:KB=1:3\). Нужно доказать, что \(BC\parallel{KD}\), а также вычислить длину отрезка \(KD\).
Решение.
1. Докажем, что \(BC\parallel{KD}\).
Используем метод доказательства от противного. Предположим, что прямые \(BC\) и \(KD\) не параллельны. Тогда эти прямые или пересекаются, или являются скрещивающимися. Но скрещиваться они не могут, так как лежат в одной плоскости - в плоскости треугольника \(ABC\). Значит, предполагаем, что \(BC\) и \(KD\) пересекаются - в некоторой точке \(M\). Так как прямая \(KD\) лежит в плоскости \(\alpha\), то и точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\). Но точка \(M\) лежит и на прямой \(BC\). Тогда получаем, что \(M\) - общая точка прямой \(BC\) и плоскости \(\alpha\). Но если прямая и плоскость имеют общую точку, то они не могут быть параллельными - по определению параллельными называются такие прямая и плоскость, которые не имеют ни одной общей точки. Получили противоречие с условием, по которому \(BC\parallel{\alpha}\). Следовательно, наше предположение неверно. Таким образом, \(BC\parallel{KD}\), что и требовалось доказать.
2. Вычислим \(KD\).
Для решения используем подобие треугольников. Рассмотрим треугольник \(ABC\): \(\Delta{AKD}\) подобен \(\Delta{ABC}\). Эти треугольники подобны по двум углам: угол \(A\) у них общий, а \(\angle{AKD}=\angle{ABC}\) как соответственные углы при параллельных прямых \(KD\), \(BC\) и секущей \(AB\). Тогда \(KD:BC=AK:AB\). Отношение \(AK:AB\) неизвестно. Используем условие \(AK:KB=1:3\). Согласно ему \(AK=x\) и \(KB=3x\). Тогда \(AB=AK+KB=x+3x=4x\), откуда \(AK:AB=x:4x=1:4\). Поэтому \(KD:BC=1:4\): это означает, что \(KD\) в \(4\) раза меньше \(BC\). Следовательно, \(KD=\frac{BC}{4}=\frac{28}{4}=7\).
Ответ: \(KD=7\).